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In der Mathematik ist die Weylsche Integralformel oder Integralformel von Weyl eine Formel zur Berechnung des Integrals von Funktionen auf kompakten Lie-Gruppen, mit der insbesondere die Berechnung des Integrals von Klassenfunktionen auf eine Integration über den maximalen Torus reduziert werden kann. Sie ist nach Hermann Weyl benannt.

• Aussage

• Spezialfall

• Erläuterungen

• Beispiel

• Beweis

• Literatur

Sei G {\displaystyle G} eine kompakte, zusammenhängende Lie-Gruppe, T ⊂ ⊂ G {\displaystyle T\subset G} ein maximaler Torus und f : : G → → C {\displaystyle f\colon G\to \mathbb {C} } eine stetige Funktion. Dann ist

∫ ∫ G f ( g ) d g = 1 # # W ∫ ∫ T det ( Id − − Ad G / T ⁡ ⁡ ( t − − 1 ) ) ∫ ∫ G / T f ( g t g − − 1 ) d g d t {\displaystyle \int _{G}f(g)\,dg={\frac {1}{\#W}}\int _{T}\det(\operatorname {Id} -\operatorname {Ad} _{G/T}(t^{-1}))\int _{G/T}f(gtg^{-1})\,dg\,dt} ,

wobei W {\displaystyle W} die Weyl-Gruppe von G {\displaystyle G} und Ad G / T : : T → → Aut ⁡ ⁡ ( T e G / T ) {\displaystyle \operatorname {Ad} _{G/T}\colon T\to \operatorname {Aut} (T_{e}G/T)} die Einschränkung der adjungierten Darstellung Ad ∣ ∣ T {\displaystyle \operatorname {Ad} \mid _{T}} auf den ersten Summanden der Ad ∣ ∣ T {\displaystyle \operatorname {Ad} \mid _{T}} -invarianten Zerlegung g = T e ( G / T ) ⊕ ⊕ t {\displaystyle {\mathfrak {g}}=T_{e}(G/T)\oplus {\mathfrak {t}}} bedeutet.

Insbesondere erhält man für eine stetige Klassenfunktion

∫ ∫ G f ( g ) d g = 1 # # W ∫ ∫ T det ( Id − − Ad G / T ⁡ ⁡ ( t − − 1 ) ) f ( t ) d t {\displaystyle \int _{G}f(g)\,dg={\frac {1}{\#W}}\int _{T}\det(\operatorname {Id} -\operatorname {Ad} _{G/T}(t^{-1}))f(t)\,dt} ,

man braucht also nur über den maximalen Torus zu integrieren.

Es gilt

det ( Id − − Ad G / T ⁡ ⁡ ( t − − 1 ) ) = ∏ ∏ α α > 0 ( e α α ( t ) / 2 − − e − − α α ( t ) / 2 ) {\displaystyle \det(\operatorname {Id} -\operatorname {Ad} _{G/T}(t^{-1}))=\prod _{\alpha >0}\left(e^{\alpha (t)/2}-e^{-\alpha (t)/2}\right)} ,

wobei α α ( t ) {\displaystyle \alpha (t)} vom Eigenwertproblem abhängt.

Für G = U ( n ) {\displaystyle G=\mathbb {U} (n)} ergibt sich

∫ ∫ G f ( g ) d g = 1 n ! ∫ ∫ T f ( diag ⁡ ⁡ ( x 1 , … … , x n ) ) | Δ Δ | 2 ∏ ∏ i = 1 n d x i x i {\displaystyle \int _{G}f(g)\mathrm {d} g={\frac {1}{n!}}\int _{T}f(\operatorname {diag} (x_{1},\ldots ,x_{n}))|\Delta |^{2}\prod _{i=1}^{n}{\frac {\mathrm {d} x_{i}}{x_{i}}}} ,

wobei Δ Δ 2 {\displaystyle \Delta ^{2}} die Vandermonde-Determinante ist, außerdem ist # # W = n ! {\displaystyle \#W=n!} .

Der Beweis folgt aus den Eigenschaften der durch

q ( g , t ) = g t g − − 1 {\displaystyle q(g,t)=gtg^{-1}}

definierten Abbildung

q : : G / T × × T → → G {\displaystyle q\colon G/T\times T\to G} ,

nämlich

deg ⁡ ⁡ ( q ) = # # W {\displaystyle \deg(q)=\#W}

für den Abbildungsgrad und

det ( d q ( g T , t ) ) = det ( Ad G / T ⁡ ⁡ ( t − − 1 ) − − Id ) {\displaystyle \det(\mathrm {d} q(gT,t))=\det(\operatorname {Ad} _{G/T}(t^{-1})-\operatorname {Id} )}

für die Determinante des Differentials von q {\displaystyle q} .

• T. Bröcker, T. tom Dieck: Representations of compact Lie groups. Springer Verlag New York 1985.

• M. Sepanski: Compact Lie groups. Springer Verlag New York 2007.